Fig. 2. -Probltme de contact. 

de liberte est Cgal a p soit deux fois le nombre de nceuds libres du maillage. La lettre n 
designe le nombre de nczuds de la surface en contact Cventuel. N est une matrice donnant 
tous les vecteurs normaux de contact. Le systeme reduit (3) s’ecrit alors : 

(23 G (y) = (I -T NT K-lN)-l (y -T NT K-l f) -proj (y, WY) = 0, 

avec y = X + rNTKV1 (f -NX). 
On est done amen& a examiner l’hypothbse i du theoreme 2 sur NT K-l N. Or cette 
condition est violee pour des exemples Clementaires tel que le troisibme de la Figure 3. 
11 y a, en effet deux coefficients non diagonaux positifs (gras). On peut cependant remarquer 
que le module de ces termes est petit au regard des autres. Le coefficient de Poisson est 0.3 
pour les trois exemples, les elements sont lineaires a quatre nceuds. 
En consequence, si la convergence monotone n’est pas Ctablie rigoureusement pour 
les problbmes de contact unilateral, en pratique, l’algorithme suit un tel comportement 
(2 a 3 iterations mCme pour un grand nombre de nceuds). 


NTK”N= ( _ 2.582 > 

NT&N=(2.214--0.1424 

Fig. 3. -Probltmes de contact et matrices assocites. 

JOURNAL DE MATI&MATIQUES PURES ET APPLIQUBES 


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4. ComplexitC et stabiliti! 
A dtfaut d’un resultat de convergence applicable, nous sommes en mesure de foumir 
des resultats sur le comportement de la methode de Newton generalisee, en particulier 
sur la complexite maximale et sur les formes d’instabilites envisageables. L’operateur F 
introduit en (2) comporte 2” cones de 1inCarite et la convergence du schema (6), si elle 
a lieu, s’effectue alors au plus en 2” iterations. En effet, le nombre d’iteres possibles est 
Cgal au nombre de regions de 1inCaritC. D’autre part, si pour une valeur initiale donnee, 
l’algorithme passe deux fois non consecutives par la mCme zone, il y aura necessairement 
divergence sous forme d’un cycle sur un nombre fini d’idres. Deux it&es consecutifs 
identiques traduisent la convergence. En fait, le resultat suivant permet de faire mieux. 

A partir de la formulation (2), on montre aisement que tout it&e xk = (u’, X”) verifie, 

(24) u” = 0 ou x; = 0, i = 1, n. 
Cette relation traduit le fait qu’a chaque iteration l’algorithme r&out un probleme avec 
un certain nombre de contraintes d’egalite ($ = 0, i E Ic), les autres composantes 
de uk n’etant point contraintes (X” = 0, i E { 1, n}/lc). La condition de complCmentaritC 
(produit scalaire uk . X” = 0) est d one bien satisfaite a chaque iteration, mais les conditions 
d’inegalite (u” > 0, X” 5 0), ne sont remplies qu’a la convergence par la solution. On peut 
remarquer que le facteur T ne joue aucun role sur ce comportement. 

THBORWE 3. -L.a convergence de la suite (x”) engendrke par (6) sur le systsme (2), 
si elle a lieu, s’effectue en au plus 2+l ite’rations. 

Preuve. -On montre que seule la moitie des regions de 1inCaritC contient un it&e 
de Newton eventuel. Les cones de lirkarite sont des quadrants de R”, pour la variable 
0 = X + TU. Une propriete caracteristique conceme le cone polaire X0 d’un quadrant 
X [26]. 

Supposons done que deux it&s appartiennent a deux quadrants mutuellement polaires, 

(26) 8” = A” + ruk E X et 19~ = X1 + rul E X0 = -X. 
Les relations (24) permettent de preciser les chases, 

(27) (A” E X et uk E X) et (A’ E -X et u1 E -X). 
La definition des cones mutuellement polaires foumit les inegalites suivantes, 

(28) x1.x” 5 0, uk.ul 5 0, xl.u” 5 0, x”.ul 5 0. 
TOME 76 -1997 -No 1 


MBTHODE DE NEWTON Gl%&RALISfiEENMfiCANIQUEDUCONTACT 

La premiere equation de (2) exprimee pour les deux iterations 1 et k et le caractere 
defini positif de la matrice A conduisent a la relation, 

(29) (u” -u’) . (A” -A’) = -(u” -u’) . A (uk -ul) < 0. 
D’autre part, en developpant le premier membre de l’equation preddente, on obtient, 

(30) (u” -u’) . (A” -A’) = 22 . A” + ul. x1 -Uk . x1 -22 . A” 2 0. 
En effet, les deux premiers termes sont nuls car la condition de complCmentarite est 
satisfaite a chaque iteration et les deux derniers sont negatifs de par les inegalites (28). Les 
relations (29) et (30) sont contradictoires, ce qui termine la demonstration. 

Ce niveau maximal de complexit pour l’algorithme de Newton generalisee est deux fois 
moins ClevC que celui obtenu pour la methode de Lemke [23] Cgal au maximum 2” [ 151. 
Cette comparaison est licite en terme de nombre d’iterations mais pas necessairement 
en temps de calcul, car, a chaque iteration la m&ode de Lemke ne resout pas tout un 
systeme lineaire. 

Le theoreme precedent n’elimine pas cependant des instabilites sous forme de cycles sur 
plusieurs it&%. C’est, rappelons-le, le seul mode de divergence de la m&ode de Newton 
appliquee a des systemes lineaires par morceaux. 11 est pourtant possible d’exclure les 
cycles d’ordre deux, c’est-a-dire portant sur deux it&es successifs. 

THBOR~ME 4. -L.a suite (x”) ne peut diverger via un cycle d’ordre deux. 

Preuve. -Considerons k tel que xk+’ = xk, avec zk+l # xk, et Ccrivons (24) sous 
la forme plus detaillee suivante, 

si 0: < 0 (ut” = 0) (u)

(31) 
si @ > 0 (X”+l = 0) (b) 
On pose E = {i E (1, . . . . n}; Bi le+’ 0: 2 0). Si i n’appartient pas a E, alors il existe 
deux possibilites : 

(32) * 0: 2 0 * @+l = ruf+l > 0 (par 31 b) * 8”+’ = ru”+” = @, 
(33) * 0: < 0 * @+l = Xf+l < 0 (par 31 cx) * 6f+2 = Af+2 = @. 
On peut synthetiser les relations (32) et (33) sous la forme d’une inclusion sous-
differentielle utilisant le sous-differentiel de la fonction indicatrice des reels positifs : 

(34) At E d@+ (u;), i E E, 1 = k, k + 1. 
JOURNAL DE MATH6MATTQLJES PURES ET APPLIQUBES 

94 P. ALART 

Pour i n’appartenant pas a E, par un raisonnement analogue, on obtient : 

(35) A;E~%-(u;), i#E, l=k.k+l. 
Les inclusions (34) et (35) se resument en l’unique inclusion : 

(36) Xi E d9c (ui), 1 = k, k + 1, C = {z E R”; zi 2 Osii E E, .zi < Osi i $! E}. 
Pour conclure, la monotonie du sous-differentiel [26] conduit a l’inegalite suivante, 
contradictoire avec la relation (29) en prenant 1 Cgal a k + 1, 

(37) (Ak+l -A”). (d+l -2) > 0 
Ce rbultat, d’une poke limitee, garantit cependant la convergence pour n Cgal a 1 ou 2 
(ou p quelconque et n Cgal a 1 ou 2 si l’on se refere a l’exemple developpe en Section 1.3). 
D’autre part, ce type de cycle est celui que l’on rencontre pour les problbmes de frottement 
ou de contact avec frottement que l’on examine dans la seconde partie. 

Partie II : Appruche heuristique 

Par approche heuristique, nous entendons une etude portant sur des exemples Clementaires 
par leur faible nombre d’inconnues, doublee d’une analyse du comportement numerique de 
l’algorithme sur des problbmes de plus grande taille. Une telle demarche n’apporte pas de 
renseignements supplementaires pour le probleme d’obstacle (l), car, en pratique, aucune 
instabilite n’a jamais Cte constatee. L’etude menee dans la premiere partie a apporte une 
reponse partielle a ce constat. D’autre part le theorbme 4 assure la convergence pour les 
exemples Clementaires (n = 1 ou 2) bases de cette deuxieme partie. 

1. Frottement 
11 en va differemment pour un autre probleme d’optimisation non differentiable (de 
type frottement) : 

(38) 21 = arg min 5 w 3 Av -v.f + a ~~t&x,; II E W} oti /)w)l, = rn,g ]wJ. 
En introduisant un multiplicateur, le systeme a resoudre s’ecrit formellement comme (2) 
avec un operateur projection quelque peu different : 

n

Au+X-f=O

(39) F (u, X) = 0 w 
X -proj (A + ru; C) = 0 ’ 
c = J-J-a, a]. 
i=l 
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Ml?lXODE DE NEWTON &NtiRALIS6E EN MBCANIQUE DU CONTACT 

11 en va de mCme pour la forme simplifiee analogue a (3), 

(40) G (y) = (I -T A-‘)-l y + g -proj (y; C) = 0. 
L’application G n’est plus lineaire par cones mais par morceaux. La methode 
d’amortissement presentee en Section I.1 est applicable. Mais il est instructif d’examiner 
le comportement de la methode de Newton generaliste standard (non amortie) sur le 
probleme le plus simple (n = 1). 11 s’agit d’un oscillateur Clementaire disposant d’un seul 
degre de liberte present6 en medaillon sur la Figure 4 et pour lequel (Y = p qn (p est le 
coefficient de frottement). On met alors en evidence sur les Figures 4 et 5 deux types 
de graphes de G (40) selon la valeur du facteur T. 11 est clair qu’un cycle d’ordre 2 peut 
intervenir avec la seconde categoric. 

Fig. 4. -Probltme de frottement 6lCmentaire et graphe de G (lm espkce). 

Fig. 5. -Probltme de frottement tkmentaire et graphe de G (2e espkce). 
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